בן הרב משה ורבקה אקסלרוד. נולד ביום י"ד בניסן תרפ"ט (13.3.1929) בעיר קלימוביץ שברוסיה הסובייטית. אביו, שהיה מחסידי חב"ד, כיהן כרב בקהילות סוראז' וזלובין ברוסיה, ולאחר שעלה ארצה, שימש כרב בעיר רמת גן. בשנת 1936, בהיותו בן שבע, עלה אריה עם משפחתו לישראל. שנות ילדותו עברו עליו ברמת גן. את השכלתו רכש במוסדות חינוך תורניים, תחילה ב"תלמוד תורה" ברמת גן ובבני ברק, ולאחר מכן בישיבת "תפארת ציון" בבני ברק ובישיבה הגבוהה "תומכי תמימים" של חסידי חב"ד בתל אביב. בתום לימודיו, בתחילת חודש יוני 1951, התגייס אריה לצה"ל ושירת כסמל דת בחטיבת "גבעתי". לאחר שחרורו מצה"ל, בשנת 1954, נשא לאשה את דינה רות לבית היינריך. הזוג קבע את משכנו בבני ברק ובמשך השנים נולדו שלוש בנותיהם. בד בבד עם דאגתו לפרנסת הבית, השתלם אריה בלימודי קודש והוסמך לרבנות. בתחילת חודש נובמבר 1962 חזר לשרת בצבא הקבע והתמנה לראש חוליית מש"קי פיקוח כשרות. בשנת 1968 נשלח מטעם הרבנות הצבאית הראשית לארגנטינה, להקים שם תשתית לייבוא בשר כשר לצה"ל, ולייסד את נוהל מתן הכשרות לפי הכללים שנקבעו ברבנות הצבאית הראשית. בשנת 1972 עבר אריה קורס רבנים צבאיים והתמנה לרב צבאי. כראש מדור כשרות היה אחראי על הפיקוח ההלכתי בנוגע לכל ענייני הכשרות הכלל-צה"ליים בתחום המזון המסופק לצה"ל וערך ביקורות במשחטות, במפעלי בשר, במאפיות ובמפעלים שונים. במסגרת תפקידו, ניהל את תהליך הכשרת המזון והמטבחים בבסיסי צה"ל לקראת חג הפסח. בשנת 1976 מונה הרב אריה לראש מדור ביקורת של הרבנות הצבאית הראשית ורב מרכז מזון. שנתיים לאחר מכן מונה לקצין מטה בכיר לנושאי כשרות ושבת. בשנת 1980 הועלה לדרגת סגן-אלוף, ומונה לראש ענף כשרות במטכ"ל בתחום ביקורת כשרות המזון והמטבחים. את תפקידו, אותו הגדיר כ"שליחות של קודש" מילא במסירות ובנאמנות עד יומו האחרון. אריה נהג לעבוד מדי יום, מעלות השחר ועד לשעות מאוחרות ביותר, בכל מזג אוויר, וללא התחשבות בתנאים קשים ובמכשולים שנקרו בדרכו. בשנת 1991 קיבל תעודת כשר רב עיר. "רב שעושה הכול בעצמו" – היה משפט שנהגו לומר על הרב אליצור. גם בערוב ימיו, היה פועל, חוקר ובודק בעצמו, ללא שליחים וללא עוזרים. נמנע מלהתחשב בשיקולי כבוד ויוקרה ולנגד עיניו עמדה רק רמת הכשרות, עליה נלחם בכל כוחו. לא היה בוש מלעלות בעצמו למחסנים או להתכופף מתחת למכונות הכבדות. הצניעות והענווה היו נר לרגליו, ולמרות העבודה הקשה סירב לקבל דבר לעצמו ונזהר שלא ליטול דבר מה מהמפעלים אותם ביקר, פן תגרום טובת ההנאה לפגיעה כלשהי בשיקול דעתו. כל סובביו, ובהם בעלי מפעלים ומשחטות אותם ביקר, העריכו אותו והתרשמו עמוקות מפועלו הנמרץ ומאחריותו הרבה. מדי שנה, החל בחודש שבט, היה מתחיל בהכנות לפסח, יוצא להכשיר מפעלי מזון, למצוא ירקות ללא תולעים, כשהמשפט השגור בפיו, "ההכנות לפסח מתחילות מצאת החג עד לכניסתו בשנה הבאה". ידועה ומפורסמת היתה נאמנותו למערכת, לרב הצבאי הראשי ולמפקדיו. תמיד אמר בענווה: "אני רק רואה, אני לא קובע, אני מעביר דיווח והם יחליטו, אני אשכנע עד כמה שאוכל". ואכן, הוא שכנע וברבים מהמפעלים תוקנו ושופרו סדרי הכשרות. רמ"ד כשרות בחיל האוויר, הרב שמואל דב רוזנברג, כתב על הרב אליצור: "פשטות הליכותיו ודרישותיו, יושרו וכנותו, בחינת 'דברים היוצאים מהלב' – נכנסו פעמים רבות ללבותיהם של המבוקרים על ידו, והועילו במקום שרבים ניסו ונכשלו." אריה הקפיד מאוד שלא לוותר על קביעת עתים לתורה. גם בימים בהם היה מתאמץ בעבודתו לא ויתר על לימוד תורה, השכם בבוקר או מאוחר בלילה. בכל עת המשיך ללמוד ולחקור ולהשתלם בתחומי הכשרות ובהשלכות ההלכתיות הנובעות מחידושי הטכנולוגיה. אישיותו המופלאה קרנה ביחסו אל כל מי שבא עמו במגע. "אב ואח", "אב רוחני", אמרו עליו; אצילות הנפש, מאור הפנים ומתן יחס של כבוד לכל אדם בהם דבק הרב אליצור, היו לשם דבר. אריה היה איש משפחה למופת, קשור בעבותות אהבה עמוקים לכל בני משפחתו. האדם ה"נותן" המושלם. גם ממיטת חוליו דאג לבני המשפחה והתנצל על שהוא מטריחם. הרב אריה נפטר ביום י"ז באלול תשנ"ו (1.9.1996) ממחלה, והובא למנוחות בחלקת הרבנים בבית העלמין האזרחי "סגולה" בפתח תקווה. בן שישים ושבע היה במותו. הותיר אשה, שלוש בנות – חיה רבקה, לאה ועליזה, תשעה אחים ואחיות – מלכה, צירה, שרה, חנה, גדליהו, נחמה, דבורה, יוכבד וזהבה, ונכדים ונכדות רבים. משפחתו הנציחה את זכרו בהכנסת ספר תורה לעילוי נשמתו לבית הכנסת "ישיבת אורחות חיים" בבני ברק.
